Distribucion hiperbolica generalizada: una aplicacion en la seleccion de portafolios y en cuantificacion de medidas de riesgo de mercado.

• Author: Alayon G., Jose Luis
• Position: P. 249-279 - Report
• Pages: 249(31)

Generalized Hyperbolic Distribution: An Application to Portfolio Selection and Measures of Market Risk

Distribuido hiperbolica generalizada: uma aplicagao na selecao de portfolios e quantificagao de medidas de risco de mercado

Capitulo 1. Introduccion

Los modelos financieros actuales han avanzado significativamente con respecto a aquellos que partian de supuestos gaussianos, al lograrse incluir caracteristicas importantes de los retornos de los activos, tales como colas pesadas y asimetrias en sus distribuciones. No obstante, a medida que las distribuciones se vuelven mas convenientes para este tipo de modelaciones, el costo computacional tambien se incrementa rapidamente, por lo que la escogencia de un buen modelo debe hacerse siguiendo un analisis de costo-beneficio riguroso, para evitar desgastes innecesarios.

En medio de este contexto se han propuesto modelos bajo distribuciones de colas pesadas o semipesadas que logran una mejor concordancia con el comportamiento de los activos financieros, pasando por la t-Student hasta distribuciones de valores extremos. El problema con la t-Student es que converge demasiado pronto a la normal, y con las distribuciones de valores extremos, que su ajuste no es tan bueno como se desea en la mayoria de los casos, por lo que las distribuciones hiperbolicas generalizadas (GHD) han elevado su importancia en los ultimos anos, ya que ante especificaciones de algunos de sus parametros se puede tener una amplia gama de distribuciones particulares. Dentro de esta se encuentran distribuciones que presentan desde colas semipesadas hasta de valores extremos, junto con caracteristicas de asimetria y curtosis facilmente ajustables a los objetivos de la investigacion que se desee desarrollar, al tiempo que posee propiedades utiles para la modelacion de derivados financieros, la cuantificacion de riesgos y las simulaciones financieras.

El uso de este tipo de distribuciones fue introducido por Barndorff-Nielsen en 1977, en la ilustracion de algunos estudios practicos, pero fue solo hasta 1995 que Eberlein y Keller lograron implementarla a una serie financiera con un alto grado de precision, ya que la complejidad que conlleva calibrar los parametros y la restriccion en terminos computacionales que existia hasta entonces, no habia permitido encontrar un algoritmo optimo para tal fin. Ademas, Prause con su trabajo de 1999 logro derivar aspectos importantes de esta distribucion sobre la funcion de maxima verosimilitud, lo que ayudo a que surgieran algoritmos cada vez mas precisos para la calibracion de esta distribucion probabilistica. Desde entonces ha sido utilizada ampliamente para la valoracion de riesgo de activos financieros [Eberlein (1998), McNeil (2005), Breymann y otros (2003)]; en la seleccion de portafolios [Hellmitch, Kassberg (2009), en modelos de Levy [Barndorff-Nielsen(1997) y Prause(1999)], y en multiples trabajos de modelacion empirica.

En el caso particular de seleccion de portafolios, la literatura tambien ha dado un salto importante gracias a la nueva generacion de medidas de riesgo basadas en los cuantiles de la distribucion, tales como el valor en riesgo (VaR) o el valor en riesgo condicional (CVaR), debido a que la optimizacion se logra bajo conceptos mas completos de riesgo de mercado que los alcanzados con el modelo de Markowitz o medidas tradicionales.

Asi pues, el objetivo de este trabajo sera la calibracion de los parametros de la distribucion hiperbolica generalizada con una metodologia que asegure una alta precision, para luego generar un proceso que de como resultado un portafolio optimo (1) desde un esquema de retorno objetivo. Todo esto con el fin de hacer comparaciones frente al modelo de Markowitz en terminos de desempeno y riesgo, y asi determinar el avance cualitativo que genera la inclusion de una distribucion de colas pesadas, asimetrias y alta curtosis en el proceso de seleccion de portafolios. Ademas, se analizaran los alcances de la distribucion hiperbolica generalizada en la modelacion de escenarios hipoteticos y en la conformacion de portafolios optimos bajo diferentes requerimientos del investigador, los cuales pueden ir mas alla del de minimo riesgo.

Para tal fin, el trabajo estara dividido de la siguiente forma: en la seccion 2 se abordara la caracterizacion, desarrollo, calibracion y ajuste de una distribucion hiperbolica generalizada a una serie financiera; posteriormente, se hara el desarrollo de la metodologia de portafolios optimos a partir de la distribucion hiperbolica generalizada; en la seccion 4, se simularan portafolios optimos bajo diferentes escenarios; en 5, se presentaran escenarios de estres (stress test) y, por ultimo, se expondran las conclusiones del trabajo.

Capitulo 2. Distribucion hiperbolica generalizada multivariada (mGHD)

La distribucion hiperbolica generalizada se encuentra parametrizada de diferentes formas en la literatura. (2) Una de las especificaciones mas famosas es la de Prause (1999), cuyos parametros estan definidos en terminos de [lambda], [alfa], [beta], [my], [DELTA] y [delta], pero en general existen mas de tres tipologias. Para este trabajo se utilizara la parametrizacion ([lambda], [ji al], [psi], [my], [suma], [gamma]), la cual es obtenida por medio de la distribucion normal media-varianza mixta (normal mean-variance mixture) cuando [omega] ~ GI G (3) ([lambda], [ji al], [psi]), ya que permite extraer de forma mas intuitiva algunas caracteristicas de esta distribucion.

2.1. Normal media-varianza mixta (normal mean-variance mixture) Suponga una variable aleatoria que se distribuye de la siguiente forma:

[X.sup.d] = [my] + W[gamma] + [marca]W AZ (2.1.1)

Donde,

Z ~ [N.sub.k] (0, [I.sub.k])

W [elemento de] [0, [infinito]) y es independiente de Z

A [elemento de] [R.sup.dxk]

[my], [gamma] son vectores en [R.sup.d]

Asi pues, se llega a que la variable condicional sigue una distribucion de este tipo. (4)

X|W = [omega] ~ [N.sub.d] ([my] + [omega][gamma], [omega][suma]) (2.1.2)

Donde,

[suma] = AA'. (5)

Por lo que si la variable latente W (6) se distribuye inversa gausiana generalizada GIG([lambda], [ji al], [psi]), entonces X debe seguir una distribucion hiperbolica generalizada (GHD, por su sigla en ingles), donde v hace referencia al parametro de localizacion (media), [suma] es el parametro de escala (matriz de varianzas y covarianzas), y el de asimetria ([gamma] = 0, entonces la distribucion es simetrica) y [lambda], [ji al], [psi] controlan la forma de la distribucion (peso de las colas y empinamiento).

2.1.1. Momentos de la variable [X.sup.d]

Dada la forma funcional de [X.sup.d] se puede llegar a que los dos primeros momentos centrados estan representados de la siguiente forma:

E[X] = [my] + E[W][gamma] (2.1.1.1)

var [X] = E[cov(X IW)] + cov(E[X IW]) = var(W)[gamma][gamma]' + E[W][suma] (2.1.1.2)

2.1.2. Funcion de densidad condicional de la variable mixta W

Como la funcion de X|W es gaussiana con media [my] + [omega][gamma] y varianza [omega][suma], la distribucion W|X puede ser hallada facilmente utilizando el teorema de Bayes.

[f.sub.W|X]([omega]) = [f.sub.X|W] ([omega])[f.sub.W]([omega])/[f.sub.X](x) (2.1.2.1)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (2.1.2.2)

Siguiendo la expresion anterior, con un W ~ GI G([lambda], [ji al], [psi]) y con las siguientes formulas se puede llegar a una representacion para [f.sub.W|X]([omega]):

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (2.1.2.4)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (2.1.2.4)

Donde,

Q(x) = (x - [my])'[[suma].sup.-1](x - [my]) la cual corresponde a la distancia de Mahalanobis.

Asi pues, y utilizando la formula (2.1.2.2) se tiene que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (2.1.2.5)

Donde,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (2.1.2.6)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (2.1.2.7)

Luego de simplificar, la expresion de [f.sub.w|x]([omega]) queda representada asi:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (2.1.2.8)

Haciendo uso de la funcion (2.1.3.2) en la expresion [[OMEGA].sub.2], entonces es possible cambiar la integral por la funcion modificada de Bessel de tercera clase (modified bessel function of the third kind), lo que simplifica el termino anterior a:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (2.1.2.9)

Esta expresion es equivalente a decir que [f.sub.W|X] (w | x) = [??] ~ GIG([lambda] - d/2, Q(x) + [ji al], [psi] + [gamma]'[[suma].sup.-1][gamma]).

En la ecuacion (2.1.2.9) [K.sub.[lambda]-d/2](...) hace referencia a la funcion modificada de Bessel de tercera clase, la...